Ecuația pătratică este una dintre ecuațiile matematice ale variabilei care are cea mai mare putere dintre două.
Forma generală a unei ecuații pătratice sau PK este după cum urmează:
ax 2 + bx + c = 0
unde x este variabila, a , b este coeficientul și c este constanta. Valoarea lui a nu este egală cu zero.
Forme de grafic
Dacă o ecuație pătratică este descrisă în termeni de coordonate carteziene (x, y), atunci formează un grafic parabolic. Prin urmare, ecuațiile pătratice sunt adesea denumite ecuații parabolice .
Următorul este un exemplu al formei acestei ecuații sub forma unui grafic parabolic.
În ecuația generală valorile a , b , și c afecta foarte mult modelul parabolic rezultat.
Valoarea unei determină curba concavă sau convexă a parabolei. Dacă valoarea unui> 0, atunci parabola se va deschide (concavă) . Dimpotrivă, dacă a <0 , atunci parabola se va deschide în jos (convex) .
Valoarea lui b în ecuație determină vârful parabolei . Cu alte cuvinte, determinați valoarea axei simetriei curbei care este egală cu x = - b / 2a .
Valoarea constantă c pe graficul ecuației determină punctul de intersecție a funcției parabolei pe axa y . Următorul este un grafic parabolic cu modificări ale valorii constante c .
Rădăcinile ecuației pătratice (PK)
Soluția la o ecuație pătratică se numește kar-rădăcina ecuației pătratice .
Diverse rădăcini PK
Tipurile de rădăcini PK pot fi găsite cu ușurință folosind formula generală D = b2 - 4ac din ecuația generală pentru axul pătratic 2 + bx + c = 0.
Următoarele sunt tipurile de rădăcini ale ecuațiilor pătratice.
1. Rădăcină reală (D> 0)
Dacă valoarea lui D> 0 dintr-un PK, va produce rădăcini reale ale ecuației, dar au rădăcini diferite. Cu alte cuvinte, x1 nu este același cu x2.
Exemplu de ecuație reală a rădăcinii (D> 0)
Găsiți tipul rădăcinii ecuației x2 + 4x + 2 = 0.
Decontare:
a = 1; b = 4; și c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (1) (2)
D = 16 - 8
D = 8
Deci, deoarece valoarea D> 0, atunci rădăcina este de tip rădăcină reală.
2. Rădăcina reală este egală cu x1 = x2 (D = 0)
Este un tip de rădăcină a unei ecuații pătratice care produce rădăcini cu aceeași valoare (x1 = x2).
Exemplu de rădăcini reale (D = 0)
Găsiți valoarea rădăcină PK de 2x2 + 4x + 2 = 0.
Citește și: Tipuri de cicluri de apă (+ imagine completă și explicație)Decontare:
a = 2; b = 4; c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (2) (2)
D = 16 - 16
D = 0
Deci, deoarece valoarea lui D = 0, este dovedit că rădăcinile sunt reale și înfrățite.
3. Rădăcini imaginare / Nu sunt reale (D <0)
Dacă valoarea lui D <0, atunci rădăcina ecuației pătratice va fi imaginară / nu reală.
Exemplu de rădăcini imaginare (D <0) /
Găsiți tipul rădăcinii ecuației x2 + 2x + 4 = 0.
Decontare:
a = 1; b = 2; c = 4
D = b2 - 4ac
D = 22 - 4 (1) (4)
D = 4 - 16
D = -12
Deci, deoarece valoarea lui D <0, rădăcina ecuației este o rădăcină ireală sau imaginară.
Găsiți rădăcinile ecuației pătratice
Există mai multe metode care pot fi folosite pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Printre acestea se numără factorizarea, pătratele perfecte și utilizarea formulei abc.
Următoarele descriu mai multe metode pentru găsirea rădăcinilor ecuației.
1. Factorizarea
Factorizarea / factorizarea este o metodă de a găsi rădăcinile prin căutarea unei valori care, dacă este multiplicată, va produce o altă valoare.
Există trei forme de ecuații pătratice (PK) cu factorizare rădăcină diferită, și anume:
| Nu. | Forma de ecuație | Factorizarea rădăcină-rădăcină |
| 1 | x 2 + 2xy + y 2 = 0 | (x + y) 2 = 0 |
| 2 | x 2 - 2xy + y 2 = 0 | (x - y) 2 = 0 |
| 3 | x 2 - y 2 = 0 | (x + y) (x - y) = 0 |
Următorul este un exemplu de problemă legată de utilizarea metodei de factorizare în ecuații pătratice.
Rezolvați ecuația pătratică 5x 2 + 13x + 6 = 0 folosind metoda factorizării.
Decontare:
5x2 + 13x = 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 0
5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(5x + 3) (x + 2) = 0
5x = -3 sau x = -2
Deci, soluția va fi x = -3/5 sau x = -2
2. Pătrate perfecte
Forma pătratică perfectă este o ecuație pătratică care produce numere raționale .
Rezultatele unei ecuații pătratice perfecte utilizează în general următoarea formulă:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
Soluția generală pentru ecuația pătratică perfectă este următoarea:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
cu (x + p) 2 = q, atunci:
(x + p) 2 = q
x + p = ± q
x = -p ± q
Următorul este un exemplu de problemă legată de utilizarea metodei ecuației perfecte.
Rezolvați ecuația x2 + 6x + 5 = 0 folosind metoda ecuației pătratice perfecte!
Decontare:
x2 + 6x +5 = 0
x2 + 6x = -5
Următorul pas este să adăugați un număr pe laturile dreapta și stânga, astfel încât să se poată schimba într-un pătrat perfect.
x2 + 6x + 9 = -5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
(x + 3) 2 = 4
(x + 3) = √4
x = 3 ± 2
Deci, rezultatul final este x = -1 sau x = -5
De asemenea, citiți: Definiție și diferență de omonime, homofoane și omografe3. Formule quadratice ABC
Formula abc este o alegere alternativă atunci când ecuația pătratică nu poate fi rezolvată prin factorizare sau metode pătratice perfecte.
Următoarea este formula abc pentru ecuația pătratică ax2 + bx + c = 0.
Următorul este un exemplu de rezolvare a unei probleme de ecuație pătratică folosind formula abc .
Rezolvați ecuația x2 + 4x - 12 = 0 folosind metoda formulei abc!
Decontare:
x2 + 4x - 12 = 0
unde a = 1, b = 4, c = -12
Construirea unei noi ecuații pătratice
Dacă am învățat anterior cum să găsim rădăcinile ecuației, atunci acum vom învăța să compunem ecuația pătratică din rădăcinile care au fost cunoscute anterior.
Iată câteva moduri în care puteți construi un nou PK.
1. Construiți ecuații atunci când rădăcinile sunt cunoscute
Dacă o ecuație are rădăcinile x1 și x2, atunci ecuația pentru acele rădăcini poate fi exprimată în termeni de
(x- x 1 ) (x- x 2 ) = 0
Exemplu:
Găsiți o ecuație pătratică în care rădăcinile sunt între -2 și 3.
Decontare:
x 1 = -2 și x 2 = 3
(x - (- 2)) (x-3) = 0
(x + 2) (x + 3)
x2-3x + 2x-6 = 0
x2-x-6 = 0
Deci, rezultatul ecuației pentru aceste rădăcini este x2-x-6 = 0
2. Construiește o ecuație pătratică dacă știi numărul și produsul rădăcinilor
Dacă se cunosc rădăcinile ecuației pătratice cu numărul și timpii lui x1 și x2, ecuația pătratică poate fi convertită în următoarea formă.
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
Exemplu:
Găsiți o ecuație pătratică cu rădăcinile 3 și 1/2.
Decontare:
x 1 = 3 și x 2 = -1/2
x 1+ x 2 = 3 -1/2 = 6/2 - 1/2 = 5/2
x 1. x 2 = 3 (-1/2) = -3/2
Astfel, ecuația pătratică este:
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (fiecare parte este înmulțită cu 2)
2x2-5x-3 = 0
Deci, ecuația pătratică pentru rădăcinile 3 și 1/2 este 2x2-5x-3 = 0.
