Inducția matematică este o metodă deductivă utilizată pentru a demonstra afirmații adevărate sau false.
Trebuie să fi studiat inducția matematică în liceu. După cum știm, inducția matematică este o extensie a logicii matematice.
În aplicația sa, logica matematică este utilizată pentru a studia enunțuri care sunt false sau adevărate, echivalente sau negaționale și pentru a trage concluzii.
Noțiuni de bază
Inducția matematică este o metodă deductivă care este utilizată pentru a demonstra afirmații adevărate sau false.
În cadrul procesului, se trag concluzii pe baza validității afirmațiilor general acceptate, astfel încât afirmații specifice să poată fi, de asemenea, adevărate. În plus, o variabilă în inducția matematică este considerată, de asemenea, un membru al setului natural de numere.
Practic, există trei pași în inducția matematică pentru a demonstra dacă o formulă sau o afirmație poate fi adevărată sau invers.
Acești pași sunt:
- Dovediți că o afirmație sau o formulă este adevărată pentru n = 1.
- Să presupunem că o afirmație sau o formulă este adevărată pentru n = k.
- Dovediți că o afirmație sau o formulă este adevărată pentru n = k + 1.
Din pașii de mai sus, putem presupune că o afirmație trebuie să poată fi verificată pentru n = k și n = k + 1.
Tipuri de inducție matematică
Există diverse tipuri de probleme matematice care pot fi rezolvate prin inducție matematică. Prin urmare, inducția matematică poate fi împărțită în trei tipuri, și anume serie, diviziune și inegalitate.
1. Seria
În acest tip de serie, de obicei, problema de inducție matematică se găsește sub forma adăugării succesive.
Deci, în problema seriei, adevărul trebuie dovedit în primul termen, termenul k și termenul al treilea (k + 1).
2. Divizia
Putem găsi tipurile de inducție matematică a diviziunii în diferite probleme care utilizează următoarele propoziții:
- a este divizibil cu b
- factorul b al unui
- b împarte a
- a multipli b
Aceste patru caracteristici indică faptul că afirmația poate fi rezolvată folosind inducția matematică de tip diviziune.
Lucrul de reținut este, dacă numărul a este divizibil cu b atunci a = bm unde m este un număr întreg.
3. Inegalitate
Tipul de inegalitate este indicat printr-un semn mai mult sau mai mic decât cel din enunț.
Există proprietăți care sunt adesea utilizate în rezolvarea tipurilor de inegalități de inducție matematică. Aceste caracteristici sunt:
- a> b> c ⇒ a> c sau a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc sau a> b și c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c sau a> b ⇒ a + c> b + c
Exemplu de probleme de inducție matematică
Următorul este un exemplu de problemă, astfel încât să puteți înțelege mai bine cum să rezolvați o dovadă de formulă folosind inducția matematică.
Rând
Exemplul 1
Demonstrați 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1), pentru fiecare n numere naturale.
Răspuns:
P (n): 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1)
Se va dovedi că n = (n) este adevărat pentru fiecare n ∈ N
Primul pas :
Se va arăta că n = (1) este corect
2 = 1 (1 + 1)
Deci, P (1) este corect
Al doilea pas :
Să presupunem că n = (k) este adevărat, adică
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Al treilea pas
Se va arăta că n = (k + 1) este, de asemenea, adevărat, adică
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Din ipotezele:
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k (k + 1)
Adăugați ambele părți cu u k + 1 :
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Deci, n = (k + 1) este corect
Exemplul 2
Folosiți inducția matematică pentru a dovedi ecuații
Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 pentru toate numerele întregi n ≥ 1.
Răspuns:
Primul pas :Se va arăta că n = (1) este corect
S1 = 1 = 12
Al doilea pas
Să presupunem că n = (k) este adevărat, adică
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Al treilea pas
Demonstrați că n = (k + 1) este adevărat
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
amintiți-vă că 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
atunci
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
atunci ecuația de mai sus este dovedită
Exemplul 3
Demonstrați că 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 este adevărat, pentru fiecare n numere naturale
Răspuns:
Primul pas :
Se va arăta că n = (1) este corect
1 = 12
Deci, P (1) este corect
Al doilea pas :
Să presupunem că n = (k) este adevărat, adică
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Al treilea pas:
Se va arăta că n = (k + 1) este, de asemenea, adevărat, adică
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Din ipotezele:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Adăugați ambele părți cu u k + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Deci, n = (k + 1) este, de asemenea, adevărat
Divizia
Exemplul 4
Demonstrați că n3 + 2n este divizibil cu 3, pentru fiecare n numere naturale
Răspuns:
Primul pas :
Se va arăta că n = (1) este corect
13 + 2,1 = 3 = 3,1
Deci, n = (1) este corect
De asemenea, citiți: Înțelegerea și caracteristicile ideologiei comuniste + ExempleAl doilea pas :
Să presupunem că n = (k) este adevărat, adică
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Al treilea pas:
Se va arăta că n = (k + 1) este, de asemenea, adevărat, adică
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Deoarece m este un număr întreg și k este un număr natural, (m + k2 + k + 1) este un număr întreg.
Să presupunem că p = (m + k2 + k + 1), atunci
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, unde p ∈ ZZ
Deci, n = (k + 1) este corect
Inegalitate
Exemplul 5
Demonstrați că pentru fiecare număr natural n ≥ 2 este valid
3n> 1 + 2n
Răspuns:
Primul pas :
Se va arăta că n = (2) este corect
32 = 9> 1 + 2,2 = 5
Deci, P (1) este corect
Al doilea pas :
Să presupunem că n = (k) este adevărat, adică
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Al treilea pas:
Se va arăta că n = (k + 1) este, de asemenea, adevărat, adică
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (deoarece 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (deoarece 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Deci, n = (k + 1) este, de asemenea, adevărat
Exemplul 6
Demonstrați că pentru fiecare număr natural n ≥ 4 este valid
(n + 1)! > 3n
Răspuns:
Primul pas :
Se va arăta că n = (4) este corect
(4 + 1)! > 34
partea stângă: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
partea dreaptă: 34 = 81
Deci, n = (4) este corect
Al doilea pas :
Să presupunem că n = (k) este adevărat, adică
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Al treilea pas:
Se va arăta că n = (k + 1) este, de asemenea, adevărat, adică
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (deoarece (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (deoarece k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Deci, n = (k + 1) este, de asemenea, adevărat
