Ecuații de cerc - formule, forme generale și exemple de probleme

ecuație circulară

Ecuația cercului are forma generală x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, care poate fi utilizată pentru a determina raza și centrul unui cerc.

Ecuația cercului pe care o veți învăța mai jos are mai multe forme. În cazuri diferite, ecuația poate fi diferită. Prin urmare, înțelegeți-l bine, astfel încât să îl puteți memora pe de rost.

Cercul este un set de puncte care sunt echidistante de un punct. Coordonatele acestor puncte sunt determinate de dispunerea ecuației. Aceasta se determină pe baza lungimii razei și a coordonatelor centrului cercului.

Ecuații de cerc

Există diverse tipuri de ecuații, și anume ecuații formate din punctul central și raza și o ecuație care poate fi găsită pentru punctul central și raza.

Ecuația cercului general

Există o ecuație generală, după cum urmează:

ecuație circulară

Judecând după ecuația de mai sus, punctul central și raza pot fi determinate, sunt:

ecuație circulară

Centrul cercului este:

În centrul lui P (a, b) și raza r

Dintr-un cerc, dacă cunoașteți punctul central și raza, veți obține formula:

ecuație circulară

Dacă știți punctul central al unui cerc și raza cercului în care (a, b) este centrul și r este raza cercului.

Din ecuația obținută mai sus, putem determina dacă includerea punctelor se află pe cerc sau în interior sau în exterior. Pentru a determina locația punctului, folosind substituția punctului în variabilele x și y și apoi comparând rezultatele cu pătratul razei cercului.

ecuație circulară

Un punct M (x 1 , y 1 ) se află:

ecuație circulară

Pe cerc:

În interiorul cercului:

În afara cercului:

At cu centrul O (0,0) și raza r

Dacă punctul central este la O (0,0), atunci faceți înlocuirea din partea anterioară, și anume:

ecuație circulară

Din ecuația de mai sus, se poate determina locația unui punct pe cerc.

ecuație circulară

Un punct M (x 1 , y 1 ) se află:

Pe cerc:

În interiorul cercului:

În afara cercului: Citește și: Arta este: definiție, funcție, tipuri și exemple [FULL]

Forma generală a ecuației poate fi exprimată în următoarele forme.

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2 sau

X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, sau

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, unde P = -2a, Q = -2b și S = a2 + b2 - r2

Intersecția liniilor și cercurilor

Un cerc cu ecuația x2 + y2 + Ax + By + C = 0 poate fi determinat dacă o dreaptă h cu ecuația y = mx + n nu o atinge, o ofensează sau o intersectează folosind principiul discriminant.

…… (ecuația 1)

…… .. (ecuația 2)

Înlocuind ecuația 2 în ecuația 1, veți obține o ecuație pătratică, și anume:

ecuație circulară

Din ecuația pătratică de mai sus, prin compararea valorilor discriminante, se poate vedea dacă linia nu ofensează / tăie, ofensează sau intersectează cercul.

Linia h nu intersectează / ofensează cercul, deci D <0

Linia h este tangentă la cerc, deci D = 0

Linia h intersectează cercul, deci D> 0

ecuație circulară

Ecuațiile tangente la cercuri

1. Ecuația tangențelor printr-un punct de pe cerc

Tangentele unui cerc întâlnesc exact un punct situat pe cerc. Din punctul de intersecție al tangentei și cercului, se poate determina ecuația liniei tangentei.

Ecuația tangentei cercului prin punctul P (x 1 , y 1 ), poate fi determinată și anume:

  • Formă

Ecuația tangentei

    • Formă

    Ecuația tangentei

    ecuație circulară
    • Formă

    Ecuația tangentei

    Exemplu de probleme:

    Ecuația tangentei prin punctul (-1,1) de pe cerc

    sunteți:

    Răspuns:

    Cunoașteți ecuația cercului

    unde A = -4, B = 6 și C = -12 și x 1 = -1, y 1 = 1

    PGS este

    ecuație circulară

    Deci ecuația tangentei este

    2. Ecuația tangentă la gradient

    Dacă o dreaptă cu panta m este tangentă la un cerc,

    ecuație circulară

    atunci ecuația tangentei este:

    Dacă este un cerc,

    ecuație circulară

    atunci ecuația tangentei:

    ecuație circulară

    Dacă este un cerc,

    atunci ecuația tangentei prin substituirea lui r cu,

    ecuație circulară

    astfel încât:

    ecuație circulară

    sau

    3. Ecuațiile tangențelor la punctele din afara cercului

    Dintr-un punct din afara cercului, pot fi trasate două tangente la cerc.

    Citește și: Democrație: definiție, istorie și tipuri [FULL]

    Pentru a găsi ecuația tangentă, se folosește formula ecuației liniei regulate, și anume:

    ecuație circulară

    Cu toate acestea, din această formulă, valoarea pantei liniei este necunoscută. Pentru a găsi panta liniei, înlocuiți ecuația cu ecuația cercului. Deoarece linia este o tangentă, atunci din ecuație rezultă substituția pentru valoarea D = 0, iar valoarea lui m va fi obținută

    Exemplu de probleme

    Exemplu Problema 1

    Un cerc are un punct central (2, 3) și are un diametru de 8 cm. Ecuația cercului este ...

    Discuţie:

    Deoarece d = 8 înseamnă r = 8/2 = 4, deci ecuația cercului format este

    (x - 2) ² + (y - 3) ² = 42

    x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

    x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

    Exemplu problema 2

    Găsiți ecuația generală pentru cercul centrat în punctul (5,1) și ofensând linia 3 x - 4 y + 4 = 0!

    Discuţie:

    Dacă se știe că centrul cercului ( a , b ) = (5,1) și tangenta la cerc este 3 x - 4 y + 4 = 0, atunci raza cercului este formulată după cum urmează.

    Astfel, ecuația generală pentru cerc este următoarea.

    Astfel, ecuația generală pentru un cerc centrat la (5,1) și care ofensează linia 3 x - 4 y + 4 = 0 este

    Exemplu Problema 3

    Găsiți ecuația generală pentru un cerc centrat la (-3,4) și care ofensează axa Y!

    Discuţie:

    În primul rând, să desenăm graficul cercului mai întâi, care este centrat la (-3,4) și care ofensează axa Y!

    Pe baza imaginii de mai sus, se poate vedea că centrul cercului este la coordonată (-3,4) cu o rază de 3, astfel încât:

    Astfel, ecuația generală care este centrată la (-3,4) și ofensă axa Y este

    În unele cazuri, raza cercului nu este cunoscută, dar tangenta este cunoscută. Deci, cum să se determine raza cercului? Uită-te la următoarea imagine.

    ecuație circulară

    Imaginea de mai sus arată că tangenta la ecuația px + qy + r = 0 aparține cercului centrat la C ( a, b ). Raza poate fi determinată de următoarea ecuație. a, b ). Raza poate fi determinată de următoarea ecuație.

    Poate fi util.